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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
Práctica 11: Series
1.
Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)
a) $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots$
a) $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots$
Respuesta
¡Arrancamos con Series! Y lo primero que tengo para decirte de este ejercicio es que: A no desesperar jaja... Este problema no tiene nada que ver con el enfoque que después van a tener los ejercicios en el parcial. La idea de este ejercicio es que, en vez de darnos la serie, nos están dando los primeros términos y a partir de ellos tenemos que deducir de qué serie se tratará. A veces esto va a ser más fácil y otras veces va a ser muy poco intuitivo, por eso repito, no desesperes si en alguno no lo ves enseguida, nadie te va a preguntar algo así en un parcial.
Reportar problema
Hecha esta aclaración, arrancamos con el primer item.
La serie que nos dan es:
$ 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots $
Lo primero que notamos es que, si arrancamos en $n=0$, los denominadores parecen ser $2n+1$. Y además, cada termino va alternando el signo, así que seguramente vamos a tener un $(-1)^n$ en el término general de la serie, para que justamente ocurra esto. Mirá, vamos a verlo despacito con los primeros términos para ver si nuestra deducción funciona:
- Para \(n = 0\):
$ a_0 = (-1)^0 \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 1 $
- Para \(n = 1\):
$ a_1 = (-1)^1 \frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = -\frac{1}{3} $
- Para \(n = 2\):
$ a_2 = (-1)^2 \frac{1}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{5} $
- Para \(n = 3\):
$ a_3 = (-1)^3 \frac{1}{2 \cdot 3 + 1} = -\frac{1}{7} $
y así podríamos seguir...
Por lo tanto, esta serie la podríamos escribir así:
$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n + 1}$